שורש שתיים - פוסט שני בבלוג

אתחיל באנקדוטה אישית. לפני כשנה חשבתי להגיש הצעת מחקר למכון venture science, שמעודד חשיבה מקורית ופורצת דרך במדע, והתלבטתי בין כל מיני רעיונות. התייעצתי עם אבא שלי, שהוא אחד האנשים היותר חכמים שאני מכירה ושאלתי אותו מה הוא חושב שכדאי לי לחקור. אבא שלי ענה תשובה קצרה ורבת משמעות: ״שורש שתיים״. הפוסט הזה מוקדש לו.

פיתגורס בן האי סאמוס נולד סביב שנת 570 לפנה״ס. הוא חי שנים רבות, יש האומרים שהגיע לגיל תשעים. לא נותרו ממנו כתבים רבים ורוב מה שידוע לנו מסתמך על סיפורים מפי אחרים. כמו תאלס, גם פיתגורס נדד בעולם, והושפע, בין השאר, מידיעותיהם של המצרים והבבלים. בעיקר הדהימה אותו דרכם של המצרים לחשב חישובים גאומטריים. כשרצו המצרים ליצור זווית ישרה מושלמת הם השתמשו בחבל מחולק ל-12 חלקים שווים. הם יצרו בעזרת החבל משולש עם יחסי צלעות של 3, של 4 ושל 5 חלקים. פיתגורס הוקסם מהשילוב של צורות ויחסי מספרים. באותם ימים החישובים היו משיקולים פרקטיים, אפילו פירוש המילה גיאומטריה היא ״למדוד את האדמה״. אף אחד לא שאל לסיבה שמאחורי היחסים המספריים שהם מצאו. אחרי שסיים את נדודיו שנמשכו כעשרים שנה חזר פיתגורס לאי סאמוס ורצה להקים שם בית ספר ללימוד מעמיק של עולם המספרים. מהר מאד הוא נאלץ לעקור את מגוריו לקרוטון שבדרום איטליה בשל משטר עוין. היה לו כנראה שם שהלך לפניו, כי ישנם סיפורים על כך שאחרי נאום משלהב בפני בני קרוטון הוא הצליח לגייס 600 תלמידים, שעזבו הכל והתגייסו מיידית לשורותיו, אפילו מבלי לחזור הביתה להפרד ממשפחותיהם. פיתגורס היה דמות מושכת ונערצת ומהר מאד בית הספר שלו הפך לאחווה. כת.

הלימוד עבור הפיתגוראים לא היה עיוני בלבד, זו היתה דרך חיים שלמה. ההצטרפות לאחווה כללה שבועת סודיות והתחייבות לחיים בקהילה סגורה. המילה ״פילוסופיה״ היא מילה שהמציא פיתגורס. עבורו, אהבת החוכמה היתה המפתח לסודות הטבע. ראיית העולם הפיתגוראית היתה חובקת כל, הם גילו שניתן להסביר את תופעות הטבע בעזרת חוקים ויחסים מספריים. גם המילה ״הרמוניה״ היא מילה פיתגוראית. הגילוי הפיתגוראי בדבר יחסי מרווחים מוסיקליים (גובה הצליל תלוי באורך המיתר) היה צעד ראשון לקראת מתמטיזציה כוללת של התופעות. חשוב להבין שהשימוש הפיתגוראי במספרים לתאר את תופעות הטבע אינו דומה לרדוקציה המתמטית של תקופתנו. להיפך. עבור פיתגורס המתמטיזציה היתה פעולה של העשרה והוספה ולא של הפחתה וצמצום. המספרים היו קדושים עבור הפיתגוראים כמו ידיעות טהורות, ומעבר לכך, ההגות המעמיקה לתוך צורות גאומטריות וחוקים מתמטיים היתה עבור הפיתגוראים דרך להיטהרות הנפש מתשוקות ארציות וחיבור עם הנשגב. האחווה הפיתגוראית הושפעה מאד מיסודות אורפאיים, כת מיסטית שדגלה בסגפנות והיטהרות של הנפש, צמחונות וגלגול נשמות. הפיתגוראים האמינו שבאמצעות הגעה לידיעה טהורה של המנגנונים העומדים מאחורי הטבע ניתן לזכות בחיי נצח של הנפש, ולהידמות לאל כל-יכול.

אם שאר הפילוסופים היוונים היו מכאניסטיים בגישתם וחיפשו מקור חומרי לשאלה ממה עשוי העולם, אזי פיתגורס היה הראשון שהשיב לשאלה זו בתשובה שהכל מספר. פיתגורס נחשב לאבי המתמטיקה. היו לו גילויים רבים בעולם המספרים, במיוחד התרכז בחקר מספרים שלמים (1,2,3..) ובשברים. מבין אינסוף המספרים חיפשו הפיתגוראים מספרים בעלי משמעות מיוחדת, כמו גם יחסים מיוחדים בין מספרים. מהר מאד השתמשו הפיתגוראים ביחסים המספריים שמצאו כדי לתאר תמונה קוסמולוגית של הכוכבים. הארץ של הפיתגוראים כבר לא היתה דיסק שטוח אלא כדור (פיתגורס היה זה שהסיק שהארץ היא כדור לפי הצל שמטיל הארץ בזמן ליקוי ירח). סביב הארץ סובבים השמש הירח וכוכבי הלכת במעגלים קונצנטריים, כל אחד מהם מחובר לספירה או גלגל. תנועת הכוכבים לפי פיתגורס גורמת לצליל מוסיקלי הנישא באוויר, כל גוף שמיימי מהדהד בגובה צליל אחר בהתאם למסלול שלו, בדיוק כפי שמיתר מהדהד בהתאם לאורכו. המרווחים בין הכוכבים תוארו כמו מרווחים מוסיקליים הרמוניים, ופיתגורס טען שהוא מסוגל לשמוע את המוסיקה השמיימית של תנועת הכוכבים.

הסמל של האחווה הפיתגוראית היה הפנטגרם, שהוא סמל מאגי הנפוץ עד היום במגוון כתות ודתות. פיתגורס הוסיף יסוד חמישי לארבעת היסודות המקוריים של אמפדוקלס (מים, אדמה, אש ואוויר), היסוד החמישי שהוסיף פיתגורס היה הנשמה. את חמשת היסודות ציירו הפיתגוראים על סמל הפנטגרם, עם אותיות המילה ״היגאה״ שמשמעותה בריאות הגוף והנפש. הפיתגוראים ראו בפנטגרם שלמות מתמטית, הפנטגרם הוא אחת מהצורות הגאומטריות שבהן מתגלה באופן טבעי יחס הזהב, שגם אותו גילו הפיתגוראים.

אם דיברנו בפוסט הקודם על הדו-שיח בין מאגיה ומדע, הרי שבמקרה של פיתגורס שניהם דרו יחד באין מפריע. החיפוש אחר פשר התיישב בקלות עם מרחב האפשרויות האינסופי של רב-מג שיודע את רזי היקום, ללא צורך בפשרה.

האידיליה הזו החלה לקבל סדקים לקראת סוף ימיו של פיתגורס. מהלומה כבדה ניחתה על האחווה הפיתגוראית עם גילויים של המספרים האי-רציונלים, דוגמת המספר שורש שתיים. אחד המשפטים המתמטיים הידועים הוא משפט פיתגורס לפיו ניתן לחשב את אורך היתר לפי אורכי הצלעות במשולש ישר זווית. עבור משולש ששתי צלעותיו באורך 1 מתקבל שאורך היתר הוא שורש שתיים. הפיתגוראים נהגו לייצג אורך (קו) כאוסף סופי של נקודות, אבל לא ניתן לייצג מספר אי-רציונלי כאוסף סופי של נקודות. הדבר הוביל לפרדוקס וסתירה, ולשבר בתפיסת העולם הפיתגוראית. גילוי המספרים האי-רציונליים נשמר בסוד, עד שאחד מבני האחווה (היפאסוס) הוציא החוצה את הידיעה. הוא הוענש בהרחקה מהאחווה, ויש הטוענים שאף הוענש בעונש מוות. סביב אותה תקופה החלה גם הדלדלות והתפרקות של האחווה, לא ידוע מה היו הסיבות לכך. אולי זה היה קשור לאורח החיים הקפדני, אולי לסיום חייו של פיתגורס, ואולי גם בשל השבר בתפיסת עולמם. אבל המסורת הפיתגוראית המשיכה להדהד בעוצמה גם אחרי מותו של פיתגורס, אפשר לומר עד ימינו אנו.

פיתגורס היה האחרון שהצליח ליישב באופן כה קוהרנטי מדע ומיסטיקה גם יחד. אחריו הגיעו שני ענקים שהמשיכו באופן ישיר ועקיף דיאלוג מולו ומול הדגם הפילוסופי שלו, הרי הם אפלטון ואריסטו. יש כל כך הרבה לספר על שני ענקים אלה, אבל אתייחס כאן לאפלטון ואריסטו רק בהקשר ליחס שלהם למסורת הפיתגוראית.

פיתגורס הציע כלי שיטתי להגיע אל סודות היקום, ולראשונה ה״אמת״ הנכספת נהייתה נגישה. אחריו באו אפלטון ואריסטו ועשו צעד אחד אחורנית. שניהם תהו, כל אחד בדרכו, על מושג ״האמת״ וכיצד והאם ניתן בכלל להגיע אליו.

אפלטון הושפע מאד מפיתגורס וגם הוא האמין בגלגול נשמות, ובכך שהנשמה שלנו יודעת את מהות הדברים כי היא נצחית. אבל התורה של אפלטון שונה משל פיתגורס. עבור אפלטון העולם נחלק לשני חלקים נפרדים: עולם ה"אידאות" שהן המהות הרוחנית של הדברים בעולם, ומנגד העולם הניתן לתפיסת החושים (אם אתם זוכרים זו הפרדה שהחלה עוד אצל פרמנידס). מבחינת אפלטון, כדי להגיע לאמת צריך קודם כל להבין את עולם האידאות ולהסיק מהן מסקנות על עולם החושים.

מחד, החלוקה הזו פותרת כל מיני פרדוקסים וחוסר תאימויות (דוגמת המספרים האי-רציונלים), יש ״אידאל של משולש״ או ״אידאל של קו״ שלעולם לא נצליח להתקרב אליהם בעולם החושים. מאידך, ההפרדה הזו מרחיקה את מושג ה״אמת״ והופכת אותו לפחות נגיש. אריסטו, לעומת זאת, טען שהדרך היחידה להגיע לאמת היא באמצעות ניסויים בעולם החושים. זאת אומרת, כדי להגיע לאמת צריך לחקור בניסויים את עולם החושים ולהסיק מהם מסקנות על טבע העולם. אם כן, לפי אריסטו, ניתן להגיע לאמת רק בדרך ההוכחה, כל השאר לא נגיש לנו. שני זרמים שונים ומנוגדים שקבעו את אופי המדע באלפיים השנים שבאו אחרי. לעיתים זה מול זה, ולעיתים זה לצד זה.

מפיתגורס ועד פיתגורס לא היה כפיתגורס, שהציע שביל זהב מרוצף מספרים אל סודות היקום, בדרך של הארה רוחנית וזיכוך הנפש. מאז פיתגורס האמת רק הלכה והתרחקה, כמו גם הדו-שיח בין מאגיה ומדע.

קריאה נוספת ומקורות:

• הסהרורים/ ארתור קסטלר The Sleepwalkers / Arthur Koestler

• תולדות הפילוסופיה היוונית, הפילוסופים הקדם-סוקראטיים / עמנואל שקולניקוב

• תולדות הפיסיקה מיוון ועד איינשטיין / יוסף אגסי

• פרקי מבוא לאפלטון / יוחנן גליקר

• שלוש מהפכות קופרניקניות / זאב בכלר

• סרטון נפלא על משפט פיתגורס והסבר על מספרים אי-רציונלים מהאתר coursera